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拓樸學(Topology)是近代數學的一個分支,由拓樸學研究的是一些圖型經類似拉長

或壓縮後皆不變的幾何性質,所以有人稱拓樸學為橡皮幾何學.



幾何或叫拓樸學(Topology)，新幾何藝術透過拓樸學的轉換作用，用一種新的視覺與理念，來重新看這個世界。



http://www.artcenter.fcu.edu.tw/activity/900326/900326.htm

它首先將一個主題拓樸化，而這個主題便產生了循環與伸縮的現象，或是說引起我們在感情上及思想上作一種精紳運動。

因此，它所表現的形態是一種不穩定而平衡的現象，它產生一種不止息的循環。它與歐氏幾何之不同，

在於它從歐氏幾何的穩定形態，轉變成運動形態，而這種運動具有次序性與循環性，

它再從歐氏幾何中以平面為面，直線為邊約立體，轉變成以曲面為面，曲線為邊的形體，

而內含一種運動中的單邊單面，與無邊新幾何形體。

它的造形法在拓樸學的定點定理中，有明確的驗証法。在定點定理所產生的作用如下:

1.切割後復原的封閉曲帶，這些曲帶透過拓樸的轉換過程中打結與扭轉的程序，

產生圖像具有旋過狀及打結形。在這裏面包含一種運動中單邊單面的觀念，及循環運動的觀念。

2.橡皮伸縮，球體擠壓，泡沫縮漲等，它所形成的視覺圖像是一種橡皮伸縮體及無邊曲面，

而它也內含循環運動與無邊的觀念，以及視覺的膨漲，收縮作用。

所以在新幾何藝術世界中，所呈現的畫面結構，它自然就是一種循環、旋轉、打結、伸縮、

扭曲的感覺作用。這些作用形成了另一種不同以往而嶄新的畫面、空間、形態。另外，

色彩與筆觸的表達，它是激起視覺感情運動的力量，因此，在色彩與線條上是

富有激情的作用及運動的次序感，炫目耀眼，作有次序的變化，這正是新幾何藝術所表現的世界。



混沌理論與蝴蝶效應(Butterfly Effect)



混沌是指動態系統之一種行為，該系具有1、巨額的(可能是無限)吸子(Attractors，類似交通號誌中的遵循方向)2、對初始狀態的敏感性；當然混沌是描述由規則掌握的不可測行為。混沌學家研究複雜動態系統之行為模式；複雜是指該系統常包含多重相互影響之因子；動態則是正常流動量一直改變中；混沌是稱為非線性動態現象中之次集合、混沌是複雜系的次集合，混沌現象似乎俯拾皆是：裊繞上昇的香菸煙束爆裂成狂亂的煙窩、風中來回擺動的旗幟、水龍頭由穩定的滴漏變成零亂、上下波動不斷之股價走勢；綜合而言，混沌理論中心概念雖然是我們不能準確預測系統之現有狀態(State of System)，但應能架構出系統的行為模式，因此混沌理論不是強調系統的不規律性或無秩序，反而是重視系統中的秩序性，特別是類似系統的普遍行為(Universal Behavior)，這可由其中的各式吸子或碎形(Fractal)表達，為我們處理更符合自然界現象的非線性動態系統(Nonlinear Dynamic System)，此時已跨出一大步，同時混沌理論對大多數不穩定性系統有強大預測能力。



1961年氣象學家勞倫斯(Edward Lorenz)正研究天氣預測問題，主要運用包含12個程式的計算模型，某天他欲重新檢查一個序列，為節省時間，他由序列的中間開始運算，然而卻出現與原始型態大不相同的結果，最後發現原因出在小數點上，原先電腦記憶初始值為0.506127，但勞倫斯為節省紙張，在報表紙上僅印出小數點下三位數，即0.506，他後來輸入的數值較初始值少0.000127，結果卻大異其趣，直是所謂『失之毫釐，差之千里』，而整體系統對初始值敏感的現象就是有名的《蝴蝶效應》：「秘魯一隻蝴蝶鼓翼可能經過一連串複雜不可測事件連接，加劇空氣騷動，最後引發侵襲德州的颶風」。



　



混沌現象(Chaos)



混沌為一種看似隨機的非線性確定過程。其為非線性，因為混沌乃非線性動力系統的一種；其為確定，

因為我們可以寫出混沌軌跡的支配方程式。



雖然混沌系統可以寫出支配方程式，但系統在長期上仍不可預測，其原因可歸為兩點：



１、此動態系統是一個反饋(feedback)的系統



　　若起始值產生微小的誤差，經由非線性函數的疊代作用(iteration)而迅速放大，

使預期陷於混亂狀態，因此在混沌系統在短期預測上是可以的，但長期預測則不可能。



２、臨界點的概念



　　關於此點，可用一個古老的寓言來說明：『稻草弄斷了駱駝的背』(a straw broke the camel's back)，

駱駝突然的倒地是一個非線性的反應。因為它的倒地是與某根特殊的稻草並無任何直接的關係。

這種觀念就是法國數學家德姆(Rene Thom)所謂的摺皺(fold)用來描述系統從一個狀態到另一個狀態，

經歷突兀、不連續變易的非線性變化。



混沌現象的性質可歸納為以下四點：



為一個反饋系統。

為數個臨界點(critical levels)，也就是有很多的均衡點存在。

必須為碎形結構，也就是說它具有自我相似的性質(self-similarity)。

對起始值具有強烈的敏感度。

混沌創造了使用電腦與處理特殊圖形、在複雜表相下捕捉奇幻與細膩結構圖案的特殊技巧。

這支新的科學衍生出它自己的語言，獨具風格的專業用－碎形、分歧、間歇、週期、摺巾(folded-towel)、

微分同相(diffiomorphisms)和平滑面映象(smooth noodle maps)。這些運動的新元素，

就像傳統物理學中的夸克、gluons是物質的新元素一般，對有些物理學家而言，

混沌是一門進展中的科學而不是成品，是形成而非存在。





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參考資料

”費波尼西數列與混沌現象之研究”,　周湘鈞　　　

”混沌,秩序與預測”,　姒元忠　廖玉完